In deze bijlage leiden we een variantiebenadering af die in de validatiestudie uit hoofdstuk 3 is gebruikt.

Definieer δ_ci = 1 als persoon i opleidingsniveau c heeft en anders δ_ci = 0. Er is een steekproef van omvang n beschikbaar waar δ_ci is waargenomen. Hieruit wordt de proportie personen met opleidingsniveau c geschat door:

$${\hat{P}}_c=\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{\delta }_{ci}}{\sum _{i=1}^n{w}_i}$$

waarbij w_i het ophooggewicht is van persoon i in de steekproef. Ter vereenvoudiging nemen we aan dat er (bij benadering) sprake is van een enkelvoudig aselecte steekproef en dat de steekproeffractie uit de doelpopulatie verwaarloosbaar klein is.

Verder zijn J=10 geïmputeerde versies van de steekproef beschikbaar. Definieer δ_imp,cij=1 als in ronde j opleidingsniveau c is geïmputeerd voor persoon i en anders δ_imp,cij=0. Uit de geïmputeerde data kan de proportie personen met opleidingsniveau c worden geschat door:

$${\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ}=\frac{1}{J}\sum _{j=1}^J{\hat{P}}_{imp,cj},{\hat{P}}_{imp,cj}=\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{\delta }_{imp,cij}}{\sum _{i=1}^n{w}_i}$$

We zijn geïnteresseerd in de variantie van het verschil ${\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ}-{\hat{P}}_c$ Deze variantie kan worden geschreven als:

$$\begin{array}{rl}var({\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ}-{\hat{P}}_c)& =E\left\{var({\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ}-{\hat{P}}_c|steekproef)\right\}+var\left\{E({\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ}-{\hat{P}}_c|steekproef)\right\}\\ & =E\left\{var\left({\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ}\right|steekproef)\right\}+var\{{\bar{\hat{P}}}_{imp,c\mathrm{\infty }}-{\hat{P}}_c\}\\ & =\frac{1}{J}E\left\{var\left({\hat{P}}_{imp,cj}\right|steekproef)\right\}+var\{{\bar{\hat{P}}}_{imp,c\mathrm{\infty }}-{\hat{P}}_c\}\\ & =V_{1c}+V_{2c},\end{array}$$

waarbij ${\bar{\hat{P}}}_{imp,c\mathrm{\infty }}$ de theoretische schatter is die gevonden zou worden als J→∞.

De variantie $V_{2c}=var\{{\bar{\hat{P}}}_{imp,c\mathrm{\infty }}-{\hat{P}}_c\}$ kan bij benadering worden geschat door:

$$\begin{array}{rl}{\hat{V}}_{2c}& =\frac{1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^n{(z_{ci}-{\bar{z}}_c)}^2,\\ z_{ci}& =\frac{1}{J}\sum _{j=1}^J{\delta }_{imp,cij}-{\delta }_{ci},\end{array}$$

met ${\bar{z}}_c=n^{-1}\sum _{i=1}^n{z}_{ci}$. In deze formule is nog geen rekening gehouden met de ophooggewichten w_i. In de praktijk leiden ongelijke ophooggewichten doorgaans tot een hogere variantie. Een redelijke benadering van dit effect wordt vaak gegeven door de zogenaamde Kish-factor (Kish, 1992). Toevoegen van deze factor geeft:

$${\hat{V}}_{2c}=\frac{1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^n{(z_{ci}-{\bar{z}}_c)}^2(1+{CV}_w^2),$$

waarbij CV_w de variatiecoëfficiënt van de ophooggewichten is (de standaarddeviatie van de gewichten gedeeld door het gemiddelde gewicht).

De andere term V_1c kan bij benadering worden geschat met behulp van de empirische variantie van ${\hat{P}}_{imp,cj}$ over de imputatieronden heen:

$${\hat{V}}_{1c}=\frac{1}{J(J-1)}\sum _{j=1}^J{({\hat{P}}_{imp,cj}-{\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ})}^2.$$

Samengevat vinden we dus de volgende variantieschatter:

$$\widehat{var}({\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ}-{\hat{P}}_c)=\frac{1}{J(J-1)}\sum _{j=1}^J{({\hat{P}}_{imp,cj}-{\bar{\hat{P}}}_{imp,cJ})}^2+\frac{1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^n{(z_i-\bar{z})}^2(1+{CV}_w^2).$$