Bijlagen

Bijlage I. Uitwerking tijdreeksmodel uit paragraaf 2.1

In het model uit paragraaf 2.1 is de trend \(L_t\) als een smooth-trendmodel gemodelleeerd, gegeven door  
\begin{eqnarray*}
L_t & = & L_{t-1} + R_{t-1} \\
R_t & = & R_{t-1} + \eta_t^{\rm R}, \mbox{ waarbij}
\end{eqnarray*}
\begin{align*}
& \eta_t^{\rm R} \sim {\cal N}(0, \sigma_{\rm R}^2)  \\
& {\rm cov}(\eta_t^{\rm R},\eta_{t'}^{\rm R}) = 0, \mbox{voor $t\neq t'$.}
\end{align*}

De seizoenscomponent \(S_t\) is met een trigonometrisch model gemodelleerd en gegeven door
\begin{eqnarray*}
S_t & = & \gamma_{1,t} + \cdots + \gamma_{J/2,t}, \mbox{ waarbij} \\ \\
\gamma_{j,t} & = & \gamma_{j,t-1} \cos\left(\frac{\pi j}{J/2}\right) + \gamma_{j,t-1}^{*}  \sin\left(\frac{\pi j}{J/2}\right) + \omega_{j,t} \\
\gamma_{j,t}^{*} & = & \gamma_{j,t-1}^{*} \cos\left(\frac{\pi j}{J/2}\right) - \gamma_{j,t-1}  \sin\left(\frac{\pi j}{J/2}\right) + \omega_{j,t}^{*}, \mbox{voor $j = 1,\ldots,J/2$.} 
\end{eqnarray*}

Voor kwartalen \(J=4\) geldt \(\gamma_{j,t^{*}} =0\) omdat \(\sin(\pi) = 0\). Daarom vereenvoudigt het trigonometrisch model tot
\begin{eqnarray*}
S_t & = & \gamma_{1,t} + \gamma_{2,t}, \mbox{ waarbij} \\ \\
\gamma_{1,t} & = & \gamma_{1,t-1}^{*} + \omega_{1,t} \\
\gamma_{1,t}^{*} & = & -\gamma_{1,t-1} + \omega_{1,t}^{*} \\
\gamma_{2,t} & = & -\gamma_{2,t-1} + \omega_{2,t}, \mbox{ met} \\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\omega_{1,t} & \sim & {\cal N}(0,\sigma_{\rm \omega}^2)  \\
\omega_{1,t}^{*} & \sim & {\cal N}(0,\sigma_{\rm \omega}^2)  \\
\omega_{2,t} & \sim & {\cal N}(0,\sigma_{\rm \omega}^2), \mbox{ en}  
\end{eqnarray*}
\begin{align*}
& {\rm Cov}(\omega_{j,t},\omega_{j,t'}) = 0, \mbox{ voor $t \neq t'$ en $j = 1,2$,} \\
& {\rm Cov}(\omega_{1,t}^{*},\omega_{1,t'}^{*}) = 0, \mbox{ voor $t \neq t'$,} \\
& {\rm Cov}(\omega_{j,t},\omega_{1,t}^{*}) = 0, \mbox{ voor alle kwartalen $t$ en $j=1,2$,} \\
& {\rm Cov}(\omega_{1,t},\omega_{2,t}) = 0, \mbox{ voor alle kwartalen $t$.} 
\end{align*}

Het systematisch verschil \(\lambda_t\) tussen de reguliere reeks en de internetreeks is gemodelleerd als een random walk, gegeven door
\begin{eqnarray*}
\lambda_t = \lambda_{t-1} + \eta_{\lambda,t}, \mbox{ waarbij}
\end{eqnarray*}
\begin{align*}
& \eta_{\lambda,t} \sim {\cal N}(0,\sigma_{\lambda}^2) \\
& {\rm Cov}(\eta_{\lambda,t},\eta_{\lambda,t'}) = 0, \mbox{ voor t $\neq$ t'.}
\end{align*}

De meetfout \(e_t^{j}\) is een combinatie van steekproefruis en ruis in de populatieparameter. Omdat de gezondheidsenquête gebaseerd is op een cross-sectioneel onderzoek is het niet mogelijk deze twee termen met een structureel tijdreeksmodel te scheiden. In het model houden we wel rekening met  veranderingen in de variantie van de directe schattingen, veroorzaakt door veranderingen in de responsomvang en het steekproefontwerp. Ook wordt er rekening gehouden met de overlap van de respons waarop de directe schattingen \(\hat{y}_t^{\rm R}\) en \(\hat{y}_t^{\rm I}\) gebaseerd zijn.

De meetfout \(e_t^{j}\) is gemodelleerd met het volgende meetfoutmodel (Binder en Dick, 1990): 
\begin{eqnarray*}
e_t^j = \sqrt{ \widehat{\rm V}(\hat{y}_t^j}) \tilde{e}_t^j, \mbox{ voor $j \in \{\rm R,\rm I\}$, waarbij}
\end{eqnarray*}
\begin{align*}
& \tilde{e}_t^j \sim {\cal N}(0,\sigma_{e,j}^2) \\
& {\rm Cov}(\tilde{e}_t^j,\tilde{e}_{t'}^{j}) = 0, \mbox{ voor $t \neq t'$ en} \\
& {\rm Cov}(\tilde{e}_t^{\rm R},\tilde{e}_{t'}^{\rm I}) = \frac{\sqrt{n_t^{\rm I}}}{\sqrt{n_t^{\rm R}}}.
\end{align*}

De laatste formule impliceert
$$ {\rm Cov}(e_t^{\rm R},e_t^{\rm I}) = \frac{\sqrt{n_{t}^{\rm I}}}{\sqrt{n_t^{\rm R}}}  \sqrt{\widehat{\rm V}(\hat{y}_t^{\rm R})} \sqrt{\widehat{\rm V}(\hat{y}_t^{\rm I})}. $$

Hierin is \(n_t^{\rm I}\) de omvang van de internetrespons in kwartaal \(t\) en \(n_t^{\rm R}\) de omvang van de volledige respons in kwartaal \(t\).

Bijlage II. Resultaten